Question

2．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）的最大值为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是单位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，可设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），将（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）的表达式转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质得到（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）的最大值．

解答 解：由题意设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=（1-cosθ，-sinθ）•（-cosθ，1-sinθ）
=-cosθ+cos²θ-sinθ+sin²θ
=1-（sinθ+cosθ）
=1-$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）的最大值为1+$\sqrt{2}$，
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．