Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），则a_n为（　　）

• A、2^n-1
• B、n
• C、2n-1
• D、（

  3

  2

  ）^n-1

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由题意，f（S_n+2）=f（a_n）+f（3）=f（3a_n），再由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数可得S_n+2=3a_n，从而求数列的通项公式．

解答： 解：∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（a_n）+f（3）=f（3a_n），
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴S_n+2=3a_n，
①当n=1时，a₁+2=3a₁，故a₁=1，
②当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2-（3a_n-1-2）=3a_n-3a_n-1，
故a_n=

3

2

3a_n-1，
故a_n=（

3

2

）^n-1，
故选D．

点评：本题考查了抽象函数的应用，同时考查了数列通项公式的求法，属于中档题．