Question

6．已知点F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为9a，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 5
• C． 3
• D． 2或5

Answer 1

分析 首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为9a，确定m=a或4a，此时c=2a或5a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设|PF₂|=m，（m≥c-a），则根据双曲线的定义：|PF₁|=2a+m，
∴$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+m）^{2}}{m}$=$\frac{4{a}^{2}}{m}$+m+4a
∵$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为9a，
∴m=a或4a，此时c=2a或5a，
∴双曲线的离心率为2或5，
双曲线的离心率为2时，不满足．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于中等题型．