Question

10．若关于x的方程a^2x-2-a^x+3=0（1≠a＞0）有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 令a^x=t，则关于t的方程$\frac{1}{{a}^{2}}$t²-t+3=0在（0，+∞）上有解，利用二次函数的性质列出不等式解出a即可．

解答 解：设a^x=t，则t＞0，
∴关于t的方程$\frac{1}{{a}^{2}}$t²-t+3=0在（0，+∞）上有解，
设f（t）=$\frac{1}{{a}^{2}}$t²-t+3=$\frac{1}{{a}^{2}}$（t-$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
则f（t）的函数图象开口向上，对称轴为t=$\frac{{a}^{2}}{2}$＞0，
∴$3-\frac{{a}^{2}}{4}$≤0，
解得：a$≥2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了零点的存在性判断，二次函数的性质，属于中档题．