Question

f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)求证：f(x)是R上的减函数；

(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．

Answer 1

[解析]　(1)f(x)的定义域为R，

令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，

令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)设x₂>x₁，

f(x₂)－f(x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂－x₁)，

∵x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0，

∴f(x₂)－f(x₁)<0，

即f(x₂)<f(x₁)，

∴f(x)在R上为减函数．

(3)∵f(－1)＝2，

∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4，

∵f(x)为奇函数，

∴f(2)＝－f(－2)＝－4，

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8，

∵f(x)在[－2,4]上为减函数，

∴f(x)_max＝f(－2)＝4，

f(x)_min＝f(4)＝－8.