Question

【题目】给定数列，若满足（且），对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．

（1）已知数列的通项公式为，试判断数列是不是“指数型数列”；

（2）已知数列满足，，证明数列为等比数列，并判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

（3）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）利用指数数列的定义，判断即可；

（2）利用a1，an＝2anan+1+3an+1（n∈N*），说明数列{1}是等比数列，然后证明数列{1}为“指数型数列”；

（3）利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可．

解：（1）数列，，所以数列是“指数型数列”

（2）数列是“指数型数列”，

所以是等比数列，

，

所以数列是“指数型数列”

（3）若数列是“指数型数列”，由定义得：

假设数列中存在三项，，成等差数列，不妨设

则，得：

整理得：（*）

若a为偶数时，右边为偶数，为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；

若a为奇数时，右边为偶数，为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；

所以，对任意的，（*）式不成立．