Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-2）f′（x）≤0，则必有（　　）

• A、f（1）+f（3）≤2f（2）
• B、f（1）+f（3）≥2f（2）
• C、f（1）+f（3）＜2f（2）
• D、f（1）+f（3）＞2f（2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（1），f（3）与f（2）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．

解答： 解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x-2）f′（x）≤0
∴有

x-2≥0 f′(x)≤0

或

x-2≤0 f′(x)≥0

，
即当x∈[2，+∞）时，f（x）为减函数，
当x∈（-∞，2]时，f（x）为增函数，
∴f（x）_max=f（2），
∴f（1）＜f（2），f（3）＜f（2）
∴f（1）+f（3）＜2f（2）
故选：C．

点评：利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减．