Question

20．若3a²-5b＜0，则方程x⁵+2ax³+2bx+4c=0（　　）

• A． 无实根
• B． 有唯一实根
• C． 有三个不同实根
• D． 有五个不同实根

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x⁵+2ax³+2bx+4c，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性和函数零点之间的关系进行判断即可．

解答 解：设f（x）=x⁵+2ax³+2bx+4c，
则f′（x）=5x⁴+6ax²+2b=5（x²）²+6a（x²）+3b，
则判别式△=36a²-4×5×3b=12（3a²-5b）＜0，
∴f′（x）=0无实根，即f′（x）＞0恒成立，即函数f（x）单调递增，
∵$\underset{lim}{x→-∞}$f（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
则函数f（x）在（-∞，+∞）上有唯一的零点，
即方程f（x）=0有唯一实根，
故选：B

点评 本题主要考查根的个数的判断，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．