Question

在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=

2

，A=

π

6

，D为AC延长线上一点，且CD=

3

+1．
（1）求∠BCD的大小；
（2）求BD的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，把AB，BC，以及sinA的值代入求出sin∠ACB的值，确定出∠ACB度数，即可求出∠BCD度数；
（2）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，把CB，DC，以及cos∠BCD代入计算即可求出BD的长．

解答： 解：（1）在△ABC中，AB=2，A=

π

6

，BC=

2

，
由正弦定理可得

AB

sin∠ACB

=

BC

sinA

，即

2

sin∠ACB

=

2

1 2

，
∴sin∠ACB=

2

2

，
∵∠ACB为钝角，
∴∠ACB=

3π

4

，
则∠BCD=

π

4

；
（2）在△BCD中，由余弦定理可知BD²=CB²+DC²-2CB•DC•cos∠BCD，
即BD²=2+（

3

+1）²-

2

×

2

×（

3

+1），
整理得：BD=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．