Question

（理）数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+1=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n=1，2，3…．
（1）求a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

a2n-1

a   2n

，S_n=b₁+b₂+…b_n．证明：n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合递推式求出a₃，a₄，得到数列{a_2k-1}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a_2k}是首项为2，公比为2的等比数列，在数列的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

a2n-1

a   2n

，利用错位相减法求和，然后利用放缩法证明数列不等式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₂=2，
∴a3=(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

=a1+1=2，a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a2k+1=[1+cos2

2k-1

2

π]a2k-1+sin2

2k-1

2

π=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴数列{a_2k-1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k；
当n=2k（k∈N^*）时，a2k+2=(1+cos2

2kπ

2

)a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k，
∴数列{a_2k}是首项为2，公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
故数列{a_n}的通项公式为an=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

；
（2）由（1）知，b_n=

a2n-1

a   2n

=

n

2n

，
Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

  ①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

  ②
①-②得，

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
要证明n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．
只需证明当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1．
令cn=

n(n+2)

2n

(n≥6)，
则cn+1-cn=

(n+1)(n+3)

2n+1

-

n(n+2)

2n

=

3-n2

2n+1

＜0．
∴当n≥6时，c_n+1＜c_n，
因此，当n≥6时，cn≤c6=

6×8

64

=

3

4

＜1．
于是，当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1．
综上所述，n≥6时，|S_n-2|＜

1

n

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，训练了作差法证明数列不等式，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．