Question

10．已知函数f（x）=bx-$\frac{b}{x}$+2alnx．（x∈R）．
（1）若a=1时，函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数b的取值范围；
（2）若b=1时，且当x₁，x₂∈（0，+∞）时，不等式[${\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}$-$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}}$]（x₁-x₂）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，判断函数的单调性，从而确定b的范围即可；
（2）令h（x）=xf（x）=x²-1+2axlnx，求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，$f（x）=bx-\frac{b}{x}+2lnx，f'（x）=b+\frac{b}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{{b{x^2}+2x+b}}{x^2}$，
①b≥0，f'（x）＞0，f（x）在定义域单调递增，不符合题意；
②b＜0，△=4-4b²＞0，-1＜b＜0，
所以-1＜b＜0；
（2）b=1时，$f（x）=x-\frac{1}{x}+2alnx$，
∵?$f（x）=lnx-ax+\frac{a}{x}$时，不等式$[{\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}-\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}}]（{{x_1}-{x_2}}）＞0$恒成立，
∴?$f（x）=lnx-ax+\frac{a}{x}$时，不等式$\frac{{{x_1}f（{x_1}）-{x_2}f（{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}（{{x_1}-{x_2}}）＞0$恒成立
令h（x）=xf（x）=x²-1+2axlnx，
∴?$f（x）=lnx-ax+\frac{a}{x}$时，
（h（x₁）-h（x₂））（x₁-x₂）＞0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）单调递增，
∴?$f（x）=lnx-ax+\frac{a}{x}$，
h'（x）=2x+2alnx+2a≥0恒成立
令$m（x）=2x+2alnx+2a，m'（x）=2+\frac{2a}{x}=\frac{2x+2a}{x}$，
①当2a=0时，m'（x）=2＞0，m（x）=2x＞0恒成立；
②当2a＞0时，$m'（x）=2+\frac{2a}{x}＞0．m（x）$在（0，+∞）上单调递增，
$m（\frac{1}{{{e^{a+\frac{1}{a}+2}}}}）=\frac{2}{{{e^{a+\frac{1}{a}+2}}}}-2{a^2}-2-2a＜0$，所以a＞0不符合；
③当2a＜0时，m'（x）=0时，x=-a

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
m'（x）	-	0	+
m（x）	递减	2aln（-a）	递增

∴m（x）_min=m（-a）=2aln（-a）≥0，-1≤a＜0；
综上：-1≤a≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．