Question

17．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若f（x）=2，当x∈R时f（x）最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立，求f（x）解析式；
（2）若对?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，得到函数的顶点坐标，从而求出函数的解析式；（2）先求出g（x）的表达式，得到g（x）=0在（x₁，x₂）存在实根，从而证出结论．

解答 解：（1）由f（x-1）=f（-x-1）得：
f（x）关于x=-1对称，又f（x）最小值为0，
所以顶点为（-1，0）且a＞0，
设f（x）=a（x+1）²，由f（1）=2得a=$\frac{1}{2}$，
f（x）=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
则g（x₁）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，g（x₂）=$\frac{1}{2}$[f（x₂）-f（x₁）]
g（x₁）g（x₂）=-$\frac{1}{4}$${[f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）]}^{2}$＜0，
∴g（x）=0在（x₁，x₂）存在实根，
即存在x₀∈（x₁，x₂），
使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．