Question

若f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|，x∈R，p₁、p₂为常数，且f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x)

，则使f（x）=f₁（x）对所有实数都成立的充要条件是

 

（用p₁、p₂表示）

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：将问题转化为f₁（x）≤f₂（x），即3^{|x-p₁|-|x-p₂|}≤2对所有实数x均成立，解不等式求出即可．

解答： 解：由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）（对所有实数x）等价于f₁（x）≤f₂（x）（对所有实数x），
这又等价于3^|x-p₁|≤2•3^|x-p₂|，即3^{|x-p₁|-|x-p₂|}≤2对所有实数x均成立，（*）
易知函数|x-p₁|-|x-p₂|（x∈R）的最大值为|p₂-p₁|，
故（*）等价于3^|p₂-p₁|≤2，即|p₂-p₁|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件．
故答案为：|p₂-p₁|≤

log

2 3

．

点评：本题考查了充分必要条件，考查了转化思想，是一道中档题．