Question

2．在平面直角坐标系xOy中，动点S到点F（1，0）的距离与到直线x=2的距离的比值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（ I）求动点S的轨迹E的方程；
（ II）过点F作与x轴不垂直的直线l交轨迹E于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设S（x，y），用x，y表示出S到F和到直线x=2的距离．列出方程化简即可；
（Ⅱ）由（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0可知|MP|=|MQ|，讨论l的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系求出PQ的中点坐标，求出PQ的中垂线方程，得出m关于k的函数，从而得出m的范围．

解答 解：（I）设S（x，y），则|SF|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，S到直线x=2的距离为|x-2|，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简得$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴轨迹E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（Ⅱ）若（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，即（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MQ}-\overrightarrow{MP}$）=0，
∴|MP|=|MQ|，
（1）若l与x轴重合时，显然M与原点重合，m=0；
（2）若直线l的斜率k≠0，则可设l：y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴PQ的中点横坐标为$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，代入y=k（x-1）得PQ的中点纵坐标为$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$，
∴PQ的中垂线方程为y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
令y=0得x=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，即m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$．
∵k²＞0，∴0＜m＜$\frac{1}{2}$，
综上，段OF上存在点M（m，0）使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，m的范围是[0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，充分利用|MP|=|MQ|是解题的关键，属于中档题．