Question

5．已知复数z=1+bi（b为正实数），且（z-2）²为纯虚数．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若$ω=\frac{z}{2+i}$，求复数ω的模|ω|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把z=1+bi代入（z-2）²化简，再结合已知条件即可求出b的值，则复数z可求；
（Ⅱ）把z=1+i代入$ω=\frac{z}{2+i}$，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数求模公式计算得答案．

解答 解：（Ⅰ）（z-2）²=（-1+bi）²=1-b²-2bi，
∵1-b²-2bi为纯虚数，∴1-b²=0，且-2b≠0，解得b=1或b=-1（舍），
∴z=1+i；
（Ⅱ）$ω=\frac{1+i}{2+i}=\frac{（1+i）（2-i）}{5}=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$，
∴$|ω|=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．