Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）取中点，连接，设，，由勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得证；

（Ⅱ）过点作的垂线，交延长线于点，连接，可证得为斜线与底面所成的角，进而得，过点作，所以底面，所以两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.

详解：

（Ⅰ）证明：取中点，连接，设，，

依题意得，四边形为正方形，且有，，

所以，所以，

又平面底面，平面底面，底面，

所以平面.

又平面，所以平面平面

（Ⅱ）过点作的垂线，交延长线于点，连接，

因为平面底面，平面底面，

平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，

为斜线与底面所成的角，即

由（Ⅰ）得，，所以在中，，，，

在中，，，，由余弦定理得，

所以，从而，

过点作，所以底面，

所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

设平面的法向量

得

取得，

设平面的法向量

得，

取得，，

所以

故所求的二面角的余弦值为.