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(14分)设集合W由满足下列两个条件的数列构成:

②存在实数M,使(n为正整数)
(I)在只有5项的有限数列
;试判断数列是否为集合W的元素;
(II)设是各项为正的等比数列,是其前n项和,证明数列;并写出M的取值范围;
(III)设数列且对满足条件的M的最小值M0,都有.
求证:数列单调递增.
(I)不是集合W中的元素,是集合W中的元素.(II),且(III)见解析
(I)对于数列
显然不满足集合W的条件,①
不是集合W中的元素,                                                             …………2分
对于数列,当时,
不仅有
而且有
显然满足集合W的条件①②,
是集合W中的元素.                                                                      …………4分
(II)是各项为正数的等比数列,是其前n项和,

设其公比为q>0,
整理得

                                                                                               …………7分
对于

,且                                                                …………9分
(III)证明:(反证)若数列非单调递增,则一定存在正整数k,
使,易证于任意的,都有,证明如下:
假设
当n=m+1时,由

所以
所以,对于任意的
显然这k项中有一定存在一个最大值,不妨记为
所以与这题矛盾.
所以假设不成立,故命题得证.                                                            …………14分
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