Question

14．一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为2$\sqrt{51}$米．

Answer 1

分析 先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设A′的坐标为（x₀，-3）（x₀＞0）根据点在圆上，可求得x₀的值，从而得到问题的结果．

解答 解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，-2），
设圆的半径为r，则C（0，-r），即圆的方程为x²+（y+r）²=r²，
将A的坐标代入圆的方程可得r=10，
所以圆的方程是：x²+（y+10）²=100
则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x₀，-3）（x₀＞0）
代入圆的方程可得x₀=$\sqrt{51}$，
所以当水面下降1米后，水面宽为2$\sqrt{51}$米．
故答案为：2$\sqrt{51}$．

点评 本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题．