Question

设函数f(x)=

1 4x ，x∈[0， 1 2 ] -x+1，x∈( 1 2 ，1]

g（x）=asin（

π

6

x）-a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据给出的函数f（x）的解析式求出其值域为，然后求出函数g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数g（x）的最值中至少一个在[0，1]范围内，最后列式求解a的范围．

解答： 解：当x∈[0，

1

2

]时，函数f（x）在区间上为减函数，所以f（x）∈[

1

2

，1]，
当x∈（

1

2

，1]时，函数f（x）为减函数，f（x）∈[0，

1

2

]，
所以f（x）在[0，1]上f（x）∈[0，1]，
函数g（x）=asin（

π

6

x）-a+2（a＞0），当x∈[0，1]时，sin（

π

6

x）∈[0，

1

2

]，
所以g（x）∈[2-a，2-

a

2

]．
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，说明函数函数g（x）的最大值与最小值中至少一个在[0，1]中，
所以0≤2-a≤1或0≤2-

a

2

≤1
解得：1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是[1，4]．
故答案为：[1，4]．

点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，考查了数学转化思想，本题把函数的零点的研究转化为元素与集合之间的关系问题．