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如图,已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2。
(I)求证:C1D//平面ABB1A1
(II)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D—A1C1—A的余弦值.
,
(I)证明:四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1//CC1
面ABB1A1,所以CC1//平面ABB1A1,ABCD是正方形,所以CD//AB,
又CD面ABB1A1,所以CD//平面ABB1A1,所以平面CDD1C1//平面ABB1A1
所以C1D//平面ABB1A1
(II)解:ABCD是正方形,AD⊥CD
因为A1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥AD,A1D⊥CD,
如图,以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz


 
中,由已知可得

所以


因为A1D⊥平面ABCD,所以A1D⊥平面A1B1C1D1,A1D⊥B1D1
又B1D1⊥A1C1,所以B1D1⊥平面A1C1D,
所以平面A1­C1D的一个法向量为n=(1,1,0)
与n所成的角为,则
所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为
(III)解:平面A1C1A的法向量为
所以,令可得
设二面角D—A1C1—A的大小为a,

所以二面角的余弦值为
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