Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥底面ABCD，M为SD的中点，且SA=AD=AB．
（1）求证：AM⊥SC；
（2）求直线SD与平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出CD⊥平面SAD，从而得到AM⊥CD，再由AM⊥SD，能证明AM⊥SC．
（2）设SA=AD=AB=2，设点D到平面ACM的距离为h，利用等积法能求出h=

2

3

3

．由此能求出直线SD与平面ACM所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥SA，∴CD⊥平面SAD，
又AM?平面SAD，∴AM⊥CD，
又∵SA=AD，M为SD中点，
∴AM⊥SD，∴AM⊥平面SCD，
又SC?平面SCD，
∴AM⊥SC．
（2）设SA=AD=AB=2，
则AM=

2

，CM=

6

，
∴S△ACM=

1

2

AM•CM=

3

，
又S△ADM=

1

2

AM•DM=1，
设点D到平面ACM的距离为h，
则V_C-ADM=V_D-ACM，
∴

1

3

S△ADM×CD=

1

3

S△ACM×h，
解得h=

2

3

3

．
设SD与平面ACM所成角为θ，
sinθ=

h

DM

=

6

3

．
∴直线SD与平面ACM所成角的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．