Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则不等式xf（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用当x＜0时，f（x）+xf'（x）＜0，化为（xf（x））'＜0，令y=xf（x），通过函数是减函数，偶函数，转化求解xf（x）＞0解集即可．

解答： 解：当x＜0时，f（x）+xf'（x）＜0，即（xf（x））'＜0，
令y=xf（x），
则函数y=xf（x）在区间（-∞，0）上为减函数，
又f（x）在定义域上是偶函数，
∴函数y=xf（x）在定义域上是奇函数，且2f（-2）=2f（2）=0，
则xf（x）＞0在（-∞，0）上的解集是（-∞，-2），
∴xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）．
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的对称性、单调性、奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．