Question

8．在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，x∈[0，1）}\\{x，x∈[-1，0）}\end{array}}$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{1}{x-2}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-1，5]上的所有根之和约为下列哪个数（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x），得到函数是周期为2的周期函数，分别作出函数f（x），g（x）在[-1，5]上的图象，利用图象观察交点的个数和规律，然后进行求解．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵g（x）=$\frac{1}{x-2}$，∴g（x）关于直线x=2对称．
分别作出函数f（x），g（x）在[-1，5]上的图象，
由图象可知两个函数的交点个数为6个，设6个交点的横坐标从小到大为x₁，x₂，x₃，x₄，
且这4个交点接近点（2，0）对称，
则$\frac{1}{2}$（x₁+x₄）=2，x₁+x₄=4，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=2（x₁+x₆）=2×4=8，
由图象可知，x₁+x₄≈4，x₂=x₃=1，
∴x₁+x₂+x₃+x₄≈6，
∴所有根之和约为6
故选B．

点评 本题主要考查函数交点个数和取值的判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．本题综合性较强，难度较大．