Question

【题目】已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3.

（1）求曲线的方程；

（2）过点且斜率为的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，，，求与的面积的积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用抛物线的定义即可求解；

（2）设出方程，，点到坐标，与联立，根据韦达定理求出和，再利用导数及点斜式方程，求出，的方程，联立求出点坐标，借助点到直线距离、抛物线定义及三角形面积的求法，即可得解.

（1）因为曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3，

所以曲线上的点到的距离和它到直线的距离相等，

故曲线是为焦点，为准线的抛物线，

故.

（2）由题设知：，则，

设，

，在轴上方，，，，，

与联立，得，

则，，

由，得时，，则；

时，，则，

，，

故，，

，联立消，得，解得，

将代入，方程，，，

两式相加得，解得

，

，

到的距离，

，

，

，

与的面积的积的取值范围是.