Question

14．已知函数 f （ x ）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin x cos x．
（Ⅰ）求函数 f （ x） 图象的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g （ x） 的图象，求 y=g （ x） 在[$\frac{π}{3}$，2π]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （ x ）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数 f （ x） 图象的对称轴方程．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g （ x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），由x∈[$\frac{π}{3}$，2π]，利用正弦函数的性质可求值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）+2sinxcosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x+sin2x
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数 f （ x） 图象的对称轴方程：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
（Ⅱ）将函数 y=f （ x） 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 解析式为：y=g （ x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{3}$，2π]，
∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，可得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g （ x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．