Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，那么c=2．

Answer 1

分析 可画出图形，进行数量积的运算便可由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=2$得到bccosA=accosB=2，由正弦定理即可得出A=B，进而得到a=b，然后由余弦定理，根据bccosA=2即可求出c的值．

解答 解：如图，

∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=2$；
∴bccosA=accosB=2；
∴bcosA=acosB；
根据正弦定理，b=2RsinB，a=2RsinA，代入上式：2RsinBcosA=2RcosBsinA；
∴sinBcosA=cosBsinA；
∴sin（B-A）=0；
∵A，B∈（0，π）；
∴A=B；
∴a=b
由余弦定理，$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c}{2b}$，代入bccosA=2得：$bc•\frac{c}{2b}=2$；
∴c²=4；
∴c=2．
故答案为：2．

点评 考查了数量积的计算公式，以及正余弦定理，等腰三角形的概念．