Question

求和：1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1（a≠0）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：对a分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：当a=1时，其和S_n=1+3+5+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²；
当a≠0，1时，S_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1．
∴aaS_n=a+3a²+…+（2n-3）•a^n-1+（2n-1）•aⁿ，
∴（1-a）S_n=1+2a+2a²+…+2a^n-1-（2n-1）•aⁿ=

2(an-1)

a-1

-1-（2n-1）•aⁿ，
∴S_n=

a+1+(2na-a-2n-1)•an

(a-1)2

．
综上可得：当a=1时，S_n=n²．
当a≠0，1时，S_n=

a+1+(2na-a-2n-1)•an

(a-1)2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．