Question

2．已知半圆的直径AB=10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． -25
• C． 25
• D． -$\frac{25}{2}$

Answer 1

分析 画出图形，讨论P点的位置：P点在O点和C点时，容易求出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}=0$，而P点在O，C之间时，将$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$带入，根据基本不等式便可得到$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}≥-2•（\frac{25}{4}）$，最后即可得到$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值．

解答 解：如图，
（1）若点P和O重合，则：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}=0$；
（2）若点P和C重合，则$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}=0$；
（3）若点P在O，C之间，则：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$=$-2|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|$；
$|\overrightarrow{PO}|＞0，|\overrightarrow{PC}|＞0$；
∴$|\overrightarrow{PO}||\overrightarrow{PC}|≤（\frac{|\overrightarrow{PO}|+|\overrightarrow{PC}|}{2}）^{2}=\frac{25}{4}$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}≥-\frac{25}{2}$；
综上得$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值为$-\frac{25}{2}$．
故选D．

点评 考查对零向量的理解，向量加法的平行四边形法则，数量积的计算公式，以及基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0．