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    【题目】对于各项均为整数的数列，如果满足（）为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.

    （Ⅰ）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；

    （Ⅱ）试判断数列和数列是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；

    （Ⅲ）对于有限项数列，某人已经验证当（）时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”.

    【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，所以是完全平方数，数列具有“性质”；（Ⅱ）由题设条件知：数列具有“变换性质”，数列为，数列不具有“变换性质”，所以数列不具有“变换性质”；（Ⅲ）设，令，则，由此可知当时，数列也具有“变换性质”.

    试题解析：（Ⅰ）当时， ，

    又，所以 .

    所以（）是完全平方数，数列具有“M性质”.

    （Ⅱ）数列具有“变换M性质”，

    数列为.

    数列不具有“变换M性质”.

    ∵， 都只有与的和才能构成完全平方数，

    ∴数列不具有“变换M性质”.

    （Ⅲ）设， ，

    注意到，

    令，

    ∵，

    ∴，

    又∵， ，

    ∴，即.

    ∵当（）时，数列具有“变换M性质”，

    ∴可以排列成，使得都是平方数；

    另外， ， ，…， 可以按相反顺序排列，即排列为，…， ， ，

    使得 ，

    ，…，

    ∴可以排成

    满足都是平方数.

    练习册系列答案
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    几何题

    代数题

    总计

    男同学

    22

    8

    30

    女同学

    8

    12

    20

    总计

    30

    20

    50

    几何题

    代数题

    总计

    男同学

    22

    8

    30

    女同学

    8

    12

    20

    总计

    30

    20

    50

    （1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

    （2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和.

    附表及公式：

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