Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆心，且圆截轴所得弦长为4．

（1）求椭圆与圆的方程；

（2）若直线与曲线，都只有一个公共点，记直线与圆的公共点为，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程为 ；圆的方程为． (2) 或．

【解析】

（1）由椭圆的离心率为，右焦点为圆C2：（x﹣1）2+y2＝r2的圆心，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆的方程；由圆截y轴所得弦长为4，得＝22+12＝5，由此能求出圆的方程．（2）设直线l的方程为y＝kx+m，推导出4k2﹣m2＝2km﹣5，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由此利用根的判别式、直线方程、圆、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l与圆的公共点A的坐标．

（1）由题意知：解得

又，

所以椭圆的方程为．

因为圆截轴所得弦长为4，所以，

所以圆的方程为．

（2）设直线的方程为，则

，

即①

由得，

因为直线与曲线只有一个公共点，所以

，

化简，得 ②

①②联立，解得或

由解得，

由解得，

故直线与圆的公共点的坐标为或．