Question

10．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD，即可证明：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）证明BE⊥平面ADD₁A₁．即可证明：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）证明四边形BCFA₁是平行四边形，求棱BC的长度．

解答 （Ⅰ）证明：因为侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，
所以DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD．
因为AD∩CD=D，
所以DD₁⊥平面ABCD．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，
所以BE⊥AD．
因为DD₁⊥平面ABCD，
而BE?平面ABCD，
所以BE⊥DD₁．
因为AD∩DD₁=D，
所以BE⊥平面ADD₁A₁．
因为BE?平面A₁BE，
所以平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁．…（10分）
（Ⅲ）解：因为BC∥AD，F为A₁D₁的中点，
所以BC∥A₁F．
所以B、C、F、A₁四点共面．
因为CF∥平面A₁BE，
而平面BCFA₁∩平面A₁BE=A₁B，
所以CF∥A₁B．
所以四边形BCFA₁是平行四边形．
所以$BC=F{A_1}=\frac{1}{2}AD=1$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直、面面垂直，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．