【题目】已知椭圆的离心率为
,直线
经过椭圆
的左顶点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线(
)交椭圆
于
两点(
不同于点
).过原点
的一条直线与直线
交于点
,与直线
分别交于点
.
(ⅰ)当时,求
的最大值;
(ⅱ)若,求证:点
在一条定直线上.
【答案】(1);(2)(ⅰ)
;(ⅱ)证明见解析.
【解析】
(1)将点代入直线方程可求得
,结合离心率和椭圆
关系可求得
,进而得到椭圆方程;
(2)设,
(i)将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式,利用弦长公式表示出
,由二次函数最大值可求得
的最大值;
(ii)设直线,直线
,两式联立可求得
,同理可得
,根据
得到
,整理得
,将直线
与椭圆方程联立可得韦达定理的形式,代入上式得
,从而得到
,将直线
与直线
联立可求得
,进而得到结果.
(1)设
点
在直线
上
,解得:
离心率
,
椭圆
的方程为
(2)设,
(i)
由
消去
可得:
即,由
得:
,
当且仅当时,
取到最大值
(ii)若,则
为
的中点
设直线,直线
两个方程联立可得:,解得:
同理可得:
即
化简得:…①
由得:
,即
由得:
,
代入①得:
,即
若,则直线
过点
,与已知不符合
又
又由,联立
消去
得:
点
在定直线
上
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆
的直角坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数),射线
的极坐标方程为
.
(1)求圆和直线
的极坐标方程;
(2)已知射线与圆
的交点为
,与直线
的交点为
,求线段
的长.
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【题目】已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量
(单位:百人)的关系有如下规定:当
时,拥挤等级为“优”;当
时,拥挤等级为“良”;当
时,拥挤等级为“拥挤”;当
时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:
(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
游客数量(单位:百人) | ||||
天数 | 10 | 4 | 1 | |
频率 |
(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率.
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【题目】已知函数,
,
是实数.
(Ⅰ)若在
处取得极值,求
的值;
(Ⅱ)若在区间
为增函数,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数有三个零点,求
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆
的直角坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数),射线
的极坐标方程为
.
(1)求圆和直线
的极坐标方程;
(2)已知射线与圆
的交点为
,与直线
的交点为
,求线段
的长.
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【题目】如图,已知多面体的底面
是边长为2的正方形,
底面
,
,且
.
(1)求多面体的体积;
(2)记线段的中点为
,在平面
内过点
作一条直线与平面
平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
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