Question

定义在上的单调函数满足，且对任意都有
（1）求证：为奇函数；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）．

解析试题分析：(1)这是抽象函数问题，要证明它是奇函数，当然要根据奇函数的定义，证明或，由此在已知式里设，从而有，因此我们还要先求出，这个只要设或者有一个为0即可得，故可证得为奇函数；（2）不等式可以利用为奇函数的结论，变形为，再利用函数的单调性去掉符号“”，转化为关于的不等式恒成立问题，即对任意成立，这时还需要用换元法（设）变化二次不等式怛成立，当然不要忘记的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）证明：∵         ①
令，代入①式，得即
令，代入①式，得，又
则有即对任意成立，
所以是奇函数.                      4分
（Ⅱ）解：，即，又在上是单调函数，
所以在上是增函数.
又由（1）是奇函数.
，即对任意成立.
令，问题等价于对任意恒成立.   8分
令其对称轴.
当时，即时，，符合题意；       10分
当时，对任意恒成立
解得                     12分
综上所述，对任意恒成立时，
实数的取值范围是：.                 13分
考点：(1)奇函数的定义；；（2）不等式恒成立问题.