Question

已知数列{a_n}（n∈N^*），其前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①若{a_n}是等差数列，则三点(10，

S10

10

)、(100，

S100

100

)、(110，

S110

110

)共线；
②若{a_n}是等差数列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，则S₁、S₂、…、S_n这n个数中必然存在一个最大者；
③若{a_n}是等比数列，则S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比数列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则{a_n}是等比数列；
⑤若等比数列{a_n}的公比是q（q是常数），且a₁=1，则数列{a_n²}的前n项和s_n=

1-q2n

1-q2

．
其中正确命题的序号是

 

．（将你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：写出等差数列的前n项和后变形得到

Sn

n

=a1+(n-1)

d

2

，由此得到命题①正确；由题意求出等差数列的公差小于0说明S₁、S₂、…、S_n这n个数中必有一个最小值得到②错；举特例说明③错；由数列递推式可得{a_n}是等比数列；举特殊数列说明⑤错．

解答： 解：对于①，由等差数列前n项和公式Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
知

Sn

n

=a1+(n-1)

d

2

，即数列{

Sn

n

}为等差数列，则已知三点都在一次函数y=a1+(x-1)

d

2

得图象上，故①对；
对于②，由a₃+a₇=-6得2a₁+8d=-6，又a₁=-11＜0，
∴d=2＞0，故S₁、S₂、…、S_n这n个数中必有一个最小值，故②错；
对于③，Sm=a1+a2+…+am=a1(

1-qm

1-q

)，S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m=qm(a1+a2+…+am)=a1(

qm-q2m

1-q

)，S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=q2m(a1+a2+…+am)=a1(

q2m-q3m

1-q

)，
当a₁+a₂+…+a_m≠0时是等比数列，当a₁+a₂+…+a_m=0时，命题不成立．故③错；
对于④由S_n+1=a₁+qS_n得S_n=a₁+qS_n-1，两式相减得a_n+1=qa_n，故④对；
对于⑤，若等比数列{a_n}的是常数数列，又a₁=1，则数列{an2}是公比为1，首项为a₁=1的等比数列，则1-q²=0，故⑤错．
故答案为：①④．

点评：本题考查了等差（比）数列的定义及前n项和公式的应用，考查了性质am=anqm-n(m，n∈N*)的应用，训练了等差数列前n项和公式的最值问题，是中档题．