Question

10．设函数f（x）=x³-3x²，若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n的取值范围是（　　）

• A． （-5，-4）
• B． （-5，0）
• C． （-4，0）
• D． （-5，-3]

Answer 1

分析 设出切点坐标（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}$），求出原函数的导函数，写出切线方程，把点（2，n）代入切线方程，整理得到$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$．令g（x）=2x³-9x²+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜-n＜5求得n的范围．

解答 解：f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x，
设切点为（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}$），则$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}$．
∴过切点处的切线方程为$y-{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}=（3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，
把点（2，n）代入得：$n-{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}=（3{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}）（2-{x}_{0}）$．
整理得：$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$．
若过点（2，n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则方程$2{{x}_{0}}^{3}-9{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}+n=0$有三个不同根．
令g（x）=2x³-9x²+12x，
则g′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
∴当x∈（-∞，1）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，
∴g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）．
∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1）=5；当x=2时，g（x）有极小值为g（2）=4．
由4＜-n＜5，得-5＜n＜-4．
∴实数n的取值范围是（-5，-4）．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，训练了利用导数求函数的极值，是中档题．