Question

【题目】已知函数，其中为大于零的常数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）求证：对于任意的时，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）的增区间为，减区间为；

（2）①当时，，②当时，，③当时，；

（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值；（3）由（1）知函数在上为增函数，构造与的递推关系，可利用叠加法求出所需结论．

试题解析：（1）当时，，由；由，

∴的增区间为，减区间为．

（2）由，

当时，在上恒成立，这是上为增函数，；

当在上恒成立，递减，，

当时，令，得，由；

所以在上递减，在上递增，有，

综上，在上的最小值为：①当时，；

②当时，；③当时，；

（3）由（1）知函数在为递增函数，

所以当时，有对恒成立，

所以

，所以，对时，都有成立．