Question

20．如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．

（Ⅰ）求证：BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点P在平面BCDE的射影O落在BE上，证明CE⊥平面PBE，推出PB⊥CE．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角B-PC-D的余弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）由条件，点P在平面BCDE的射影O落在BE上，
∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，
∴CE⊥平面PBE，而BP?平面PBE，
∴PB⊥CE．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．

则$B（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，$C（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，0}）$，$D（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，0}）$，$P（{0，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{η_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{η_1}•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow{η_1}•\overrightarrow{CP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\ 3{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\end{array}\right.$，令${z_1}=\sqrt{2}$，可得$\overrightarrow{η_1}=（{0，\frac{2}{3}，\sqrt{2}}）$
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{η_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{η_2}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{η_2}•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_2}-{y_2}--\sqrt{2}{z_2}=0\\{y_2}=0\end{array}\right.$，令${z_2}=\sqrt{2}$，可得$\overrightarrow{η_2}=（{2，0，\sqrt{2}}）$∴$cos（{\overrightarrow{η_1}，\overrightarrow{η_2}}）=\frac{{\overrightarrow{η_1}•\overrightarrow{η_2}}}{{|{\overrightarrow{η_1}}|•|{\overrightarrow{η_2}}|}}=\frac{{\sqrt{33}}}{11}$
考虑到二面角B-PC-D为钝二面角，则二面角B-PC-D的余弦值为$-\frac{{\sqrt{33}}}{11}$．

点评 本题考查直线与平常垂直的性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．