Question

已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）-f（y）=f（

x

y

）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（

1

x

）+2的解集是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据条件求出令x=36，y=6，得f（36）=2，再根据f（x+3）＜f（

1

x

）+2转为为f（x+3）-f（

1

x

）=f（x（x+3））＜2=f（36），根据函数的单调性解不等式即可得

解答： 解：∵f（x）-f（y）=f（

x

y

）（x＞0，y＞0），
令x=36，y=6，得
f（36）-f（6）=f（6）
∴f（36）=2f（6）=2，
∵f（x+3）＜f（

1

x

）+2，
∴f（x+3）-f（

1

x

）=f（x（x+3））＜2=f（36），
∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，

x+3＞0 x＞0 x(x+3)＜36

∴0＜x＜

-3+3 17

2

故不等式f（x+3）＜f（

1

x

）+2的解集是（0，

-3+3 17

2

），
故答案为：（0，

-3+3 17

2

），

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、抽象函数及其应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．