Question

设p：复数z=（1-2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数g（x）=x³+mx²+（m+

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）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据复数的定义，函数导数在极值点处的取值情况求出命题p，q下的m的取值范围，再根据p且q为真，对所得m的取值范围求交集即可．

解答： 解：∵复数z=（1-2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限，
∴（1-2m）（m+2）＜0，即m＜-2或m＞

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2

．…（5分）
∵函数g(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上有极大值点和极小值点各一个，
∴g′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

=0有两个不同的解，即△＞0．
由△＞0，得m＜-1或m＞4                           …（10分）
要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，…（12分）
∴

m＜-2或m＞ 1 2 m＜-1或m＞4

， 解得m＜-2或m＞4．
∴m的取值范围为（-∞，-2）∪（4，+∞）．                        …（14分）

点评：考查复数的定义，极值的概念，及导函数在极值点处的取值情况，p且q的真假和p，q真假的关系．