Question

6．若实数x₀满足p（x₀）=x₀，则称x=x₀为函数p（x）的不动点．
（1）求函数f（x）=lnx+1的不动点；
（2）设函数g（x）=ax³+bx²+cx+3，其中a，b，c为实数．
①若a=0时，存在一个实数${x_0}∈[\frac{1}{2}，2]$，使得x=x₀既是g（x）的不动点，又是g'（x）的不动点（g'（x）是函数g（x）的导函数），求实数b的取值范围；
②令h（x）=g'（x）（a≠0），若存在实数m，使m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，求证：函数h（x）存在不动点．

Answer 1

分析 （1）由题意可知lnx+1=x，令φ（x）=lnx-x+1，然后利用导数求其极值，可得x=1时函数有唯一极大值0，得到函数f（x）=lnx+1的不动点为x=1；
（2）①由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{b{{x}_{0}}^{2}+c{x}_{0}+3={x}_{0}}\\{2b{x}_{0}+c={x}_{0}}\end{array}\right.$，得到$b=\frac{3}{{{x}_{0}}^{2}}-\frac{1}{{x}_{0}}+1$，再由x₀的范围求得b的范围．
②令h（x）=g'（x）=3ax²+2bx+c．由题意知，m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，转化为方程h（x）=qx有三个根m，h（m），h（h（m）），然后对二次方程h（x）=qx的根进行讨论，可得函数h（x）存在不动点．

解答 （1）解：由题意可知lnx+1=x，令φ（x）=lnx-x+1，
则φ′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数，∴φ（x）先增后减，有极大值为φ（1）=0．
∴函数f（x）=lnx+1的不动点为x=1；
（2）①解：由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{b{{x}_{0}}^{2}+c{x}_{0}+3={x}_{0}}\\{2b{x}_{0}+c={x}_{0}}\end{array}\right.$，消去c，
得$b=\frac{3}{{{x}_{0}}^{2}}-\frac{1}{{x}_{0}}+1$，x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，∴b∈[$\frac{5}{4}，11$]．
②证明：h（x）=g'（x）=3ax²+2bx+c．
由题意知，m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，
故可设公比为q，则$\left\{\begin{array}{l}{h（m）=qm}\\{h（h（m））=qh（m）}\\{h（h（h（m）））=qh（h（m））}\end{array}\right.$，故方程h（x）=qx有三个根m，h（m），h（h（m）），
又∵a≠0，∴h（x）=g'（x）=3ax²+2bx+c 为二次函数，
故方程h（x）=qx为二次方程，最多有两个不等根，则m，h（m），h（h（m））中至少有两个值相等．
当h（m）=m时，方程h（x）=x有实数根m，也即函数h（x）存在不动点，符合题意；
当h（h（m））=m时，则qh（m）=m，q²m=m，故q²=1，又各项均为正数，则q=1，即h（m）=m，
同上，函数h（x）存在不动点，符合题意；
当h（h（m））=h（m）时，则qh（m）=qm，h（m）=m，同上，函数h（x）存在不动点，符合题意．
综上所述，函数h（x）存在不动点．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．