Question

10．对于两个复数$α=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i，β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，有下列四个结论：
①αβ=1；
②$\frac{α}{β}=1$；
③$|{\frac{α}{β}}|=1$；
④α²+β²=1
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由于$α=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i，β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
对于①，可求得αβ=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i≠1，可判断①错误；
对于②，可求得$\frac{α}{β}=-1$，可判断②错误；
对于③，可求得$|{\frac{α}{β}}|=1$，可判断③正确；
对于④，可求得α²+β²=-1+$\sqrt{3}$i≠1，可判断④错误．

解答 解：$α=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i，β=-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
对于①，αβ=-（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i≠1，故①错误；
对于②，$\frac{α}{β}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}ii}$=-1≠1，故②错误；
对于③，$|\frac{α}{β}|$=$\frac{|α|}{|β|}$=$\frac{\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}}{\sqrt{{（-\frac{1}{2}）}^{2}{+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}}$=1，故③正确；
对于④，α²+β²=（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$\frac{3}{4}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$\frac{3}{4}$）=-1+$\sqrt{3}$i≠1，故④错误．
综上所述，正确的个数为1个，
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，突出考查复数的乘法、除法、乘方运算及复数求模，属于中档题．