Question

9．设a＞0，b＞0，若2是2^a与2^b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据2是2^a与2^b的等比中项可得a、b的等量关系，然后直接利用基本不等式可求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值即可．

解答 解：∵2是2^a与2^b的等比中项，
∴2^a•2^b=4，
∴a+b=2，$\frac{1}{2}$（a+b）=1，
而a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$）=1+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{2b}$≥1+2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{2b}}$=2，
当且仅当a=b=1时取等号．
故选：C．

点评 本题主要考查了基本不等式的应用，以及等比中项的概念，同时考查了计算能力，属于基础题．