Question

已知α，β为钝角，若sin（α+β）=2sin（α-β），则tan（α-β）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：由已知可得3tanβ=tanα，根据两角差的正切函数化简可得tan（α-β）=

2

1 tanβ +3tanβ

，结合角的范围，由基本不等式即可求解．

解答： 解：∵sin（α+β）=2sin（α-β），
⇒sinαcosβ+cosαsinβ=2（sinαcosβ-cosαsinβ）
⇒3cosαsinβ=sinαcosβ
⇒3tanβ=tanα，
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2tanβ

1+3tan2β

=

2

1 tanβ +3tanβ

，①
∵β为钝角，
∴tanβ＜0，
∴

1

tanβ

+3tanβ=-（|

1

tanβ

|+3|tanβ|）≤-2

3

，
∴①式≥

2

-2 3

=-

3

3

．
∴tan（α-β）的最小值是-

3

3

．
故答案为：-

3

3

．

点评：本题主要考查了两角差的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．