Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．

(1)求证：AC·BC＝AD·AE；

(2)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF＝4，CF＝6，求AC的长．

Answer 1

 (1)证明：连接BE，则△ABE为直角三角形，

因为∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，

所以△ABE∽△ADC，

则，

即AB·AC＝AD·AE.

又AB＝BC，

所以AC·BC＝AD·AE.

(2)因为FC是⊙O的切线，

所以FC²＝AF·BF.

又AF＝4，CF＝6，

则BF＝9，AB＝BF－AF＝5.

因为∠ACF＝∠CBF，又∠CFB＝∠AFC，

所以△AFC∽△CFB，

则，即AC＝＝.