Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（a+b）（sinA-sinB）-（a-c）sinC=0．
（1）求角B的大小；
（2）若cos²

A

2

=

1

2

+

5

10

，求tanC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正切函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得 a²+c²-b²=a，求得cosB=

a2+c2-b2

2ac

的值，即可求得B的值．
（2）由条件利用二倍角公式求得cosA=2cos²A-1的值，可得 sinA和tanA的值，再根据tanC=-tan（A+B），利用两角和的正切公式计算求得结果．

解答： 解：（1）△ABC中，由（a+b）（sinA-sinB）-（a-c）sinC=0，利用正弦定理可得
（a+b）（a-b）-（a-c）c=0，即 a²+c²-b²=a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，∴B=

π

3

．
（2）∵cos²

A

2

=

1

2

+

5

10

，∴cosA=2cos²A-1=

5

5

，∴sinA=

2 5

5

，
∴tanA=

sinA

cosA

=2．
∴tanC=-tan（A+B）=-tan（

π

3

+A）=-

tan π 3 +tanA

1-tan π 3 tanA

=

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角和的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．