Question

已知S_n=2ⁿ+C

1 n

2^n-1+C

2 n

2^n-2+…+C

n-1 n

2+1，（n∈N^*），求证：当n为偶数时，S_n-4n-1能被64整除．

Answer 1

考点：组合数公式的推导

专题：点列、递归数列与数学归纳法,排列组合,二项式定理

分析：利用组合数的性质可知，S_n=（1+2）ⁿ=3ⁿ，再利用数学归纳法证明即可．

解答： 证明：∵S_n=2ⁿ+C

1 n

2^n-1+C

2 n

2^n-2+…+C

n-1 n

2+1=（1+2）ⁿ=3ⁿ，
∴①当n=2时，S₂-4×2-1=9-8-1=0，能被64整除；
②假设当n=2k（k≥1，k∈N^*）时，S_2k-4×2k-1=3^2k-8k-1能被64整除，即S_2k-4×2k-1=64f（k）（f（k）为整数），
则n=2k+2时，S_2k+2-4×（2k+2）-1=3^2k+2-4×（2k+2）-1=9（3^2k-8k-1）-64k，
显然能被64整除，
由①②知，对任意n∈N^*，当n为偶数时，S_n-4n-1能被64整除．

点评：本题考查组合数公式的应用，着重考查数学归纳法的应用，考查推理、证明能力，属于中档题．