Question

6．用数学归纳法证明：“1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}＜n（{n∈{N^*}，n＞1}）$”由n=k（k∈N^*，k＞1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为2^k．

Answer 1

分析 分别计算当n=k和n=k+1时左侧最后一项的分母即左侧的项数即可得出答案．

解答 解：当n=k时，不等式左侧为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$，
当n=k+1时，不等式左侧为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
不等式左边增加的项数是（2^k+1-1）-（2^k-1）=2^k．
故答案为：2^k．

点评 本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．