Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点A（-4，0），B（0，2）和点P（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，BP⊥AB，且直线BP与x轴交于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和离心率；
（Ⅱ）求点P的坐标；
（Ⅲ）若以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，求r的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A、B在椭圆C上，易得a=4，b=2，可得椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得离心率；
（Ⅱ）由点在椭圆可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，再由BP⊥AB可得$\frac{n-2}{m-0}$•$\frac{2-0}{0-（-4）}$=-1，解方程组可得点P的坐标；
（Ⅲ）由直线的知识可得M（1，0），设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上任意一点为N（4cosα，2sinα），由三角函数和二次函数可得MN|²的最小值，由圆在椭圆内部结合图象可得r的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点A（-4，0），B（0，2）和点P（m，n）都在椭圆C上，
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$=1，$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，解得a=4，b=2，∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，再由BP⊥AB可得$\frac{n-2}{m-0}$•$\frac{2-0}{0-（-4）}$=-1，
联立解得m=$\frac{32}{17}$，n=-$\frac{30}{17}$，故点P的坐标（$\frac{32}{17}$，-$\frac{30}{17}$）；
（Ⅲ）由A（-4，0），B（0，2）可得AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，由垂直关系可得BP斜率k=-2，
故直线BP的方程为y-2=-2（x-0），即y=2-2x，令y=0可得x=1，故M（1，0），
设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上任意一点为N（4cosα，2sinα），
则|MN|²=（4cosα-1）²+（2sinα-0）²=16cos²α-8cosα+1+4sin²α
=12cos²α-8cosα+5，当cosα=-$\frac{-8}{2×12}$=$\frac{1}{3}$时，|MN|²取最小值$\frac{11}{3}$，
|MN|取最小值$\sqrt{\frac{11}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
∵以M为圆心，r为半径的圆在椭圆C的内部，
∴r的取值范围为：（0，$\frac{\sqrt{33}}{3}$）

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，涉及三角换元和二次函数区间的最值以及数形结合思想，属中档题．