Question

已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2[1-cos（B+C）]-cos2A=

7

2

（1）若sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状；
（2）若a=

3

，b+c=3，求b和c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，求出cosA的值，确定出A的度数，利用正弦定理化简sinA=2sinBcosC，利用积化和差公式变形得到sin（B-C）=0，即可确定出三角形形状；
（2）由余弦定理列出关系式，将a，cosA，以及b+c的值代入求出bc的值，即可确定出b与c的值．

解答： 解：（1）2[1-cos（B+C）]-cos2A=2（1+cosA）-（2cos²A-1）=-2cos²A+2cosA+3=

7

2

，
解得：cosA=

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

3

，
∵sinA=2sinBcosC=sin（B+C）+sin（B-C）=sinA+sin（B-C），且sinA≠0，
∴sin（B-C）=0，即B=C，
则△ABC为等边三角形；
（2）∵cosA=

1

2

，a=

3

，b+c=3①，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，即3=9-3bc，
∴bc=2②，
联立①②解得：b=1，c=2或b=2，c=1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．