【题目】(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,平面
,
,
,
,
,
,
,
是
的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1) 解法1
证明:∵平面
,
平面
,
∴,
又,
平面
,
∴平面
. …………2分
过作
交
于
,则
平面
.
∵平面
,
∴. …………4分
∵,∴四边形
平行四边形,
∴,
∴,又
,
∴四边形为正方形,
∴, ……………6分
又平面
,
平面
,
∴⊥平面
. ………………………7分
∵平面
,
∴. ………………………8分
(2)∵平面
,
平面
∴平面⊥平面
由(1)可知
∴⊥平面
∵平面
∴……………………9分
取的中点
,连结
,
∵四边形是正方形,
∴
∵平面
,
平面
∴⊥平面
∴⊥
Z|X|X|K]
∴是二面角
的平面角, ………………………12分
由计算得
∴………………………13分
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.………………………14分
解法2
∵平面
,
平面
,
平面
,
∴,
,
又,
∴两两垂直. ……………………2分
以点E为坐标原点,分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得,(0,0,2),
(2,0,0),
(2,4,0),
(0,3,0),
(0,2,2),
(2,2,0). …………………………4分
∴,
,………6分
∴, ………7分
∴. …………………………8分
(2)由已知得是平面
的法向量. ………………………9分
设平面的法向量为
,
∵,
∴,即
,令
,得
. ……………12分
设平面与平面
所成锐二面角的大小为
,
则…………………………13分
∴平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
. …………………………14分
【解析】
(1)证明EB,EF,EA两两垂直,以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量,证明
,可得BD⊥EG;
(2)由已知得是平面DEF的法向量,求出平面DEG的法向量
,利用向量的夹角公式,可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.
(Ⅰ),
,
,
,
.又
,
BE,EF,AE两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
由已知得,,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
(Ⅱ)由已知得是平面DEF的法向量,
设平面的DEG法向量为,
,
,
即
令
,得
,
设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ,
则.
平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为
.
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【题目】小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】“互联网”是“智慧城市”的重要内士,
市在智慧城市的建设中,为方便市民使用互联网,在主城区覆盖了免费
.为了解免费
在
市的使用情况,调査机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调査的网友中抽取了
人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人):
经常使用免费WiFi | 偶尔或不用免费WiFi | 合计 | |
45岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
45岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,判断是否有的把握认为
市使用免费
的情况与年龄有关;
(2)将频率视为概率,现从该市岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取
人,共抽取
次.记被抽取的
人中“偶尔或不用免费
”的人数为
,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列,数学期望
和方差
.
附:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数,当x≥0时,恒有
+f(﹣x)<0,若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1﹣2x)的解集为( )
A.(,1)B.(﹣∞,
)∪(1,+∞)
C.(,+∞)D.(﹣∞,
)
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【题目】某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团,若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加,则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为( )
A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线经过点
,倾斜角
,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的参数方程;
(Ⅱ)直线l与曲线C的交点为A,B,求点P到A、B两点的距离之积.
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